Hodina matematiky

K čemu všemu může být fotografovi dobrá podobnost trojúhelníků a trojčlenka.

Poměrně často dostáváme do poradny dotazy typu: „Chystám se fotografovat to a to. Jaký si mám pořídit objektiv? Bude mi stačit ohnisko 200 mm?“ Málokdo si uvědomí, jak snadné je si nalézt odpověď na tuto a některé další otázky sám. Stačí vědět pár základních faktů a použít trochu jednoduché matematiky. Pojďme se podívat, jak na to.

Obr. 1

Když se podíváte na schéma lineární projekce na Obr. 1, uvidíte, že se jedná o podobné trojúhelníky. Pokud není zaostřeno hodně nablízko a vzdálenost fotografovaného objektu d je výrazně větší než ohnisková vzdálenost objektivu f, je vzdálenost roviny filmu nebo čipu od objektivu přibližně rovná ohniskové vzdálenosti objektivu. Všimněte si, že ohnisková vzdálenost se v tomto případě nijak nepřepočítává. Vzhledem k tomu, že ji používáme namísto vzdálenosti roviny filmu nebo čipu, musíme použít skutečnou ohniskovou vzdálenost objektivu.

Poměr stran podobných trojůhelníků je stejný. Platí tudíž

(1)	x / f = h / d

Tuto jednoduchou rovnici lze použít k nalezení odpovědi na celou řadu otázek. Uveďme si pro názornost několik příkladů.

1. Velikost objektu na snímku

Víte-li, jak je fotografovaný objekt velký a jak je daleko, můžete si pomocí této jednoduché rovnice lehko spočítat, jak asi bude při použití objektivu s danou ohniskovou vzdáleností velký jeho obraz na filmu nebo čipu vašeho digitálu.

Všimněte si, že jednotky můžeme použít libovolné, stačí, abychom při měření velikosti objektu h a jeho vzdálenosti od nás d použili ty samé. Jednotky, ve kterých vyjde velikosti obrazu x, pak budou shodné s jednotkami použitými pro ohniskovou vzdálenost f, což jsou typicky milimetry.

Kupříkladu si představte, že budete fotit člověka stojícího asi 15 m od vás 50 mm objektivem. Jelikož vzdálenost je v metrech, přibližnou velikost člověka chceme vyjádřit také v metrech – dejme tomu 1,8 m. Velikost obrazu postavy na filmu nebo čipu fotoaparátu bude přibližně

x = f · h / d = 50 mm · 1,8 m / 15 m = 6 mm.

Samozřejmě, aby vám tato informace k něčemu byla, musíte vědět, jak velké je políčko, na které snímáte. Políčko kinofilmu má rozměry 24 x 36 mm. Velikost čipů digitálů se různí. Mezi amatéry jsou nejrozšířenější digitální zrcadlovky s čipem formátu APS-C, který má velikost zhruba 15 x 22,5 mm. Přesnou velikost najdete v technických specifikacích fotoaparátu.

To znamená, že fotíte-li na kinofilmový formát, tak při použití 50 mm objektivu zabere člověk stojící asi 15 m od vás zhruba 1/4 výšky snímku orientovaného na šířku (6 mm z 24 mm). Fotíte-li digitální zrcadlovkou s čipem formátu APS-C, bude to něco mezi 1/3 a 1/2 (6 mm z 15 mm).

2. Potřebná ohnisková vzdálenost

Když víte, co chcete fotit a z jaké vzdálenosti, můžete si spočítat, jaké asi budete potřebovat ohnisko. Dejme tomu, že chcete fotit digitální zrcadlovkou s čipem formátu APS-C ptáky velké asi 15 cm a že váš úkryt je asi 2 m od místa, kde obvykle sedávají. Nejprve je zapotřebí určit, jak velký má být obraz ptáka na filmu nebo na čipu. Řekněme, že byste chtěli, aby na fotografii o rozměrech 10 x 15 cm byl pták vysoký alespoň 4 cm.

Obr. 2

Použijeme-li stejné značení jako na Obr. 2,
pak v tomto případě máme X = 4 cm, Y = 15 cm, y = 22,5 mm a pomocí prosté trojčlenky zjistíme, že požadovaná velikost obrazu ptáka na čipu je

x = y · X / Y = 22,5 mm · 4 cm / 15 cm = 6 mm.

Nyní již můžeme přímo použít rovnici (1). Nezapomeňte při tom, že pro velikost fotografovaného objektu a jeho vzdálenost od fotoaparátu je potřeba použít stejné délkové jednotky, tj. buď je musíme vyjádřit vzdálenost ptáka v centimetrech, nebo jeho velikost v metrech. Dostaneme

f = x · d / h = 6 mm · 2 m / 0,15 m = 80 mm.

Budete tudíž potřebovat objektiv s ohniskovou vzdáleností 80 mm, případně delší, pokud má být pták na snímku větší.

3. Potřebná vzdálenost od fotografovaného objektu

Další variací na stejné téma je situace, kdy víme, co a jakým objektivem chceme fotit, a zajímá nás, jak moc se budeme muset k fotografovanému objektu přiblížit, aby byl na snímku dostatečně veliký, nebo naopak jak moc od něj budeme muset být daleko, aby se nám do záběru vešel. Představte si třeba, že si chcete pronajmout nějakou místnost jako studio a chcete, aby tam byl dostatek místa na to, abyste mohli fotit na kinofilm 100 mm objektivem celou stojící postavu. Jak velkou místnost budete potřebovat?

Abychom nechali nějakou rezervu pro zvednuté ruce apod., uvažujme výšku postavy trochu větší, dejme tomu 2 m. Na fotografii musíme nechat trochu volného místa dole a nahoře. Řekněme, že budeme chtít na fotografii 10 x 15 cm postavu 12 cm vysokou. Stejně jako v předchozím případě musíme nejdříve zjistit, jak velký má být obraz na filmu. Tentokrát máme X = 12 cm, Y = 15 cm, y = 36 mm a požadovaná velikost obrazu na filmu je tudíž

x = y · X / Y = 36 mm · 12 cm / 15 cm = 28,8 mm.

Pomocí staré známé rovnice (1) pak zjistíme, že

d = h · f / x = 2 m · 100 mm / 28,8 mm = 7 m.

Budete tudíž chtít být od modelky až 7 m daleko. Připočtěte si k tomu ještě nějaký ten prostor pro pozadí za modelkou a jste doma.

4. Délka expozice a míra rozmazání pohybem

Rovnice (1) dovoluje vyřešit i problémy poněkud jiného charakteru. Například, víte-li jak daleko od vás bude fotografovaný objekt a jak rychle se asi bude pohybovat, můžete si spočítat, jak moc bude na snímku rozmazaný při jisté dané délce expozice nebo jak dlouhý čas je zapotřebí nastavit, aby míra rozmazání odpovídala vašim představám. Pro jednoduchost budeme předpokládat, že objekt se pohybuje záběrem napříč, tj. nepřibližuje se, ani nevzdaluje.

V tomto případě nebudeme počítat, jak velký je obraz fotografovaného objektu na filmu nebo čipu, ale o kolik se tento obraz na filmu nebo čipu pohne. Zbytek je pak podobný jako v předchozích případech, jen musíme ještě navíc použít vzorec pro rovnoměrný přímočarý pohyb, který nám dovolí převést délku dráhy na čas potřebný k jejímu uražení či naopak.

Dejme tomu, že budete fotit digitální zrcadlovkou s čipem formátu APS-C objektivem s ohniskovou vzdáleností 20 mm vlak projíždějící za závorami. Vlak pojede rychlostí asi 60 km/h a vy budete stát asi 15 m od závor a budete chtít, aby na fotografii 10 x 15 cm byla stopa vlaku zhruba 1 cm dlouhá. Jak dlouhý čas máte nastavit?

Má-li se vlak pohnout na fotografii velké 10 x 15 cm o 1 cm, pak se jeho obraz na čipu musí pohnout o

x = y · X / Y = 22,5 mm · 1 cm /15 cm = 1,5 mm.

To znamená, že ve skutečnosti se vlak musí popojet o

h = d · x / f = 15 m · 1,5 mm / 20 mm = 1,125 m.

Za jak dlouho ujede vlak tuto vzdálenost? Vzhledem k tomu, že na fotoaparátu se nastavují časy ve zlomcích sekundy (1/250 s apod.), budeme chtít použít jako jednotku času sekundy (což bude vyžadovat převedení rychlosti z kilometrů za hodinu na metry za sekundu), ale také pro nás bude výhodnější, když namísto času spočteme jeho převrácenou hodnotu, 1 / t. Vzhledem k tomu, že rychlost rovnoměrného přímočarého pohybu je daná vzorcem

v = h / t,

máme

1 / t = v / h = 60 km/h / 1,125 m = 60 · (1000 m / 3600 s) / 1,125 m = 14,8 s^-1.

Když výsledek zaokrouhlíme, vidíme, že potřebý čas bude zhruba t = 1/15 s.

Jak moc bude vlak rozmazaný, když použijeme místo 1/15 s čas 1/125 s? Za tento čas ujede vlak dráhu

h = v · t = 60 km/h · 1/125 s = 60 (1000 m / 3600 s) · 1/125 s = 0,133 m.

Na čipu se tudíž jeho obraz posune o

x = f · h / d = 20 mm · 0,133 m / 15 m = 0,18 mm,

což na fotografii o rozměru 10 x 15 cm odpovídá

X = Y · x / y = 15 cm · 0,18 mm / 22,5 mm = 0,12 cm.

Poznámka: Nemusí jít pouze o rozmazání fotografovaného objektu. Podobným způsobem si můžete zhruba spočítat, jak moc bude pohybem rozmazané pozadí snímku, když budete pohybující se objekt fotoaparátem sledovat (panovat), tj. když fotografovaný objekt bude vzhledem k fotoaparátu stát a pohybovat se bude pozadí.

5. Čas potřebný k zabránění pohybové neostrosti.

Co když naopak budeme chtít, vlak na snímku nebyl rozmazaný? Jak krátký čas musíme použít v tomto případě? I na tuto otázku můžeme najít odpověď prostřednictvím rovnice (1).

Samozřejmě, že to, aby vlak nebyl vůbec rozmazaný, není v reálu možné. K tomu by byl zapotřebí nekonečně krátký čas. Ve skutečnosti musíme zvolit nějakou dostačně malou nenulovou toleranci pro rozmazání, takovou, aby rozmazání nebylo pro lidské oko patrné, podobně jako se to dělá třeba při výpočtech hloubky ostrosti. Pro stanovení hloubky ostrosti se u kinofilmu běžně uvažuje tolerance pro míru rozmazání obrazu na filmu 0,03 mm. Na fotografii 10 x 15 cm to odpovídá rozmazání o velikosti

X = Y · x / y = 15 cm · 0,03 mm / 36 mm = 0,0125 cm = 1/8 mm.

S čipem formátu APS-C je ekvivalentní tolerance

x = y · X / Y = 22,5 mm · 0,0125 cm / 15 cm = 0,01875 mm.

Pokud vám tato tolerance přijde zbytečně přísná nebo naopak příliš měkká, můžete si zvolit jinou hodnotu, která lépe odpovídá vašim představám.

Vraťme se nyní k našemu příkladu s vlakem. Dosadíme-li za x výše uvedenou toleranci pro rozmazání na čipu formátu APS-C, vyjde nám, že to odpovídá dráze ujeté vlakem o délce

h = d · x / f = 15 m · 0,01875 mm / 20 mm = 0,014 m.

Pro čas pak dostaneme

1 / t = v / h = 60 km/h / 0,014 m = 60 · (1000 m / 3600 s) / 0,014 m = 1190 s^-1.

To znamená, že k „zmražení“ pohybu vlaku na fotografii je nutný čas kratší než 1/1000 s. Budete muset zvolit 1/1250 nebo 1/1500 s, podle toho, jestli váš fotoaparát používá stupnici po 1/2 nebo 1/3 EV.

Doufám, že se mi podařilo vás přesvědčit, že matematika může být fotografovi občas užitečná a že zdaleka ne vždy musí jít o nějaké kdovíjak složité vzorce. Často stačí trocha nejzákladnějších znalostí a umět používat hlavu. A mít po ruce kalkulačku.